양자 AI 0강 : 양자상태의 언어: 벡터, 확률진폭, 위상 (큐비트를 확률표가 아니라 “확률진폭을 가진 벡터”로 이해하는 입문 강의)

0부 강의: $|+\rangle$, $|-\rangle$, 확률진폭, 제곱의 의미

양자컴퓨팅을 처음 배울 때 가장 먼저 부딪히는 식이 이런 겁니다.

$$|+\rangle = \frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}}$$

$$|-\rangle = \frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt{2}}$$

그리고 곧바로 이런 말을 듣게 됩니다.

$$|\psi\rangle = \alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$$

여기서 $\alpha,\beta$는 확률이 아니라 확률진폭이고, 확률은

$$P(0)=|\alpha|^2$$

$$P(1)=|\beta|^2$$

라고 합니다.

처음 보면 당연히 이상합니다.

“왜 $\sqrt{2}$로 나누지?”

“왜 마이너스가 들어가지?”

“왜 $\alpha,\beta$가 확률이 아니지?”

“왜 제곱하지?”

“복소수랑 무슨 상관이지?”

이 흐름을 하나씩 잡겠습니다.

1. 큐비트는 확률표가 아니라 벡터다

고전 비트는 둘 중 하나입니다.

$$0$$

또는

$$1$$

컴퓨터 안의 일반 비트는 상태가 딱 하나입니다.

0이거나 1이다.

그런데 큐비트는 이렇게 표현합니다.

$$|\psi\rangle = \alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$$

여기서 $|0\rangle$, $|1\rangle$는 기본 상태입니다.

벡터로 쓰면 이렇게 생겼습니다.

$$|0\rangle = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$$

$$|1\rangle = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$

즉, $|0\rangle$와 $|1\rangle$는 그냥 두 개의 기본 방향입니다.

그림 느낌으로 보면 이렇습니다.

    |1>
     ↑
     |
     |
     |
     +----------→ |0>

$|0\rangle$는 한쪽 방향이고, $|1\rangle$는 그것과 직각인 다른 방향입니다.

그러면

$$|\psi\rangle = \alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$$

는 이렇게 볼 수 있습니다.

$|0\rangle$ 방향으로 $\alpha$만큼,

$|1\rangle$ 방향으로 $\beta$만큼 섞인 벡터

벡터로 쓰면

$$|\psi\rangle = \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix}$$

입니다.

즉, $\alpha$는 $|0\rangle$ 방향 성분이고, $\beta$는 $|1\rangle$ 방향 성분입니다.

2. $\alpha,\beta$는 확률이 아니라 성분이다

예를 들어 일반 벡터를 봅시다.

$$v = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$$

여기서 3과 4는 확률이 아닙니다.

그냥 벡터의 성분입니다.

가로 방향으로 3

세로 방향으로 4

라는 뜻입니다.

벡터의 길이는 피타고라스 정리로 계산합니다.

$$|v| = \sqrt{3^2+4^2} = 5$$

여기서 중요한 감각은 이것입니다.

벡터의 성분 자체가 비율이나 확률은 아니다.

성분을 제곱해서 전체 길이와 연결한다.

큐비트도 비슷합니다.

$$|\psi\rangle = \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix}$$

에서 $\alpha,\beta$는 확률이 아니라 벡터의 성분입니다.

양자에서는 이 성분을 확률진폭, 영어로 amplitude라고 부릅니다.

3. 확률진폭이란 무엇인가

확률진폭은 쉽게 말하면

확률이 되기 전의 재료

입니다.

$$\alpha$$

는 $|0\rangle$에 대한 확률진폭입니다.

$$\beta$$

는 $|1\rangle$에 대한 확률진폭입니다.

하지만 실제로 측정했을 때 0이 나올 확률은 $\alpha$ 자체가 아닙니다.

$$P(0)=|\alpha|^2$$

입니다. 마찬가지로 1이 나올 확률은

$$P(1)=|\beta|^2$$

입니다. 즉,

$$\alpha,\beta$$

는 확률이 아니라 확률을 만들기 전의 값입니다.

4. 왜 확률은 제곱인가

이 부분이 핵심입니다.

양자역학에서는 다음 규칙을 사용합니다.

$$\boxed{ \text{확률} = \text{확률진폭의 절댓값 제곱} }$$

즉,

$$P(0)=|\alpha|^2$$

$$P(1)=|\beta|^2$$

입니다.

이 규칙을 Born rule이라고 부릅니다.

이건 양자역학의 기본 규칙입니다.

수학적으로는 “정의에 가까운 법칙”입니다.

그런데 직관도 있습니다.

4.1 확률은 음수가 될 수 없다

확률은 항상 0 이상이어야 합니다.

$$P \ge 0$$

그런데 확률진폭은 음수일 수 있습니다.

예를 들어

$$|-\rangle = \frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt{2}}$$

에서는 $|1\rangle$ 쪽 진폭이

$$-\frac{1}{\sqrt{2}}$$

입니다. 만약 진폭 자체를 확률이라고 하면

$$P(1)=-\frac{1}{\sqrt{2}}$$

가 되어버립니다.

확률이 음수라는 말은 불가능합니다.

하지만 제곱하면 양수가 됩니다.

$$\left|-\frac{1}{\sqrt{2}}\right|^2 = \frac{1}{2}$$

그래서 부호가 있더라도 확률은 양수로 나옵니다.

4.2 전체 확률의 합이 1이 되어야 한다

큐비트 하나를 측정하면 결과는 0 또는 1입니다.

따라서 확률의 합은 반드시 1이어야 합니다.

$$P(0)+P(1)=1$$

양자상태가

$$|\psi\rangle = \alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$$

이면,

$$P(0)=|\alpha|^2$$

$$P(1)=|\beta|^2$$

이므로,

$$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$$

이어야 합니다.

이걸 정규화 조건이라고 합니다.

즉, 큐비트 상태는 길이가 1인 벡터입니다.

$$\langle\psi|\psi\rangle=1$$

또는

$$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$$

입니다.

5. 왜 $\sqrt{2}$로 나누는가

이제 이 식을 봅시다.

$$|+\rangle = \frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}}$$

먼저 $\sqrt{2}$를 빼고 생각해봅시다.

$$|0\rangle+|1\rangle$$

벡터로 쓰면

$$|0\rangle+|1\rangle = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

이 상태에서 확률을 계산하면

$$P(0)=|1|^2=1$$

$$P(1)=|1|^2=1$$

합이

$$P(0)+P(1)=2$$

가 됩니다.

확률 합이 2라는 건 말이 안 됩니다.

확률 합은 반드시 1이어야 합니다.

그래서 전체 벡터의 길이를 1로 만들어야 합니다.

$$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

의 길이는

$$\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$$

입니다.

따라서 $\sqrt{2}$로 나누면 길이가 1이 됩니다.

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$$

그래서

$$|+\rangle = \frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}}$$

입니다. 확률을 계산하면

$$P(0) = \left|\frac{1}{\sqrt{2}}\right|^2 = \frac{1}{2}$$

$$P(1) = \left|\frac{1}{\sqrt{2}}\right|^2 = \frac{1}{2}$$

합은

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$$

입니다. 따라서

$$\boxed{ \sqrt{2} \text{로 나누는 이유는 전체 확률의 합을 1로 만들기 위해서다.} }$$

6. $|+\rangle$의 의미

$$|+\rangle = \frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}}$$

이 상태는 벡터로

$$|+\rangle = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$$

입니다. 뜻은 이렇습니다.

$|0\rangle$ 방향 성분과 $|1\rangle$ 방향 성분이 같은 크기, 같은 부호로 들어 있다.

측정하면

$$P(0)=\frac{1}{2}$$

$$P(1)=\frac{1}{2}$$

입니다. 그래서 $|0\rangle, |1\rangle$ 기준으로 보면 반반입니다.

하지만 단순히 “동전 던지기처럼 반반”이라고 생각하면 안 됩니다.

왜냐하면 $|+\rangle$는 확률표가 아니라 방향을 가진 벡터이기 때문입니다.

7. $|-\rangle$의 의미

$$|-\rangle = \frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt{2}}$$

벡터로 쓰면

$$|-\rangle = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$$

뜻은 이렇습니다.

$|0\rangle$ 방향 성분과 $|1\rangle$ 방향 성분이 같은 크기지만 부호가 반대다.

확률을 계산하면

$$P(0) = \left|\frac{1}{\sqrt{2}}\right|^2 = \frac{1}{2}$$

$$P(1) = \left|-\frac{1}{\sqrt{2}}\right|^2 = \frac{1}{2}$$

즉, $|-\rangle$도 $|0\rangle, |1\rangle$ 기준으로 측정하면 반반입니다.

여기서 중요한 점은 이것입니다.

$$-\frac{1}{\sqrt{2}}$$

는 음수 확률이 아닙니다.

그냥 진폭의 부호가 반대라는 뜻입니다.

확률은 절댓값 제곱이므로

$$\left|-\frac{1}{\sqrt{2}}\right|^2 = \frac{1}{2}$$

입니다.

8. $|+\rangle$와 $|-\rangle$는 같은 상태인가

둘 다 측정하면 반반입니다.

$$|+\rangle \Rightarrow P(0)=\frac{1}{2},\quad P(1)=\frac{1}{2}$$

$$|-\rangle \Rightarrow P(0)=\frac{1}{2},\quad P(1)=\frac{1}{2}$$

그러면 둘은 같은 상태일까요?

아닙니다. 둘은 서로 다른 상태입니다.

벡터를 비교해보면 바로 보입니다.

$$|+\rangle = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$$

$$|-\rangle = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$$

첫 번째는 두 성분이 같은 부호입니다.

$$+ \quad +$$

두 번째는 두 성분의 부호가 다릅니다.

$$+ \quad -$$

그림 느낌으로는 이렇습니다.

    |1>
     ↑
     |
|+>  /
   /
  /

-----+----------→ |0>

|->

|

$|+\rangle$와 $|-\rangle$는 서로 다른 방향입니다.

실제로 내적을 계산하면 0입니다.

$$\langle +|-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$$

$$= \frac{1}{2}-\frac{1}{2} = 0$$

내적이 0이라는 것은 서로 직각이라는 뜻입니다.

$$\boxed{ |+\rangle \text{와 } |-\rangle \text{는 서로 직각인 다른 상태다.} }$$

9. 마이너스의 진짜 역할은 간섭이다

마이너스는 확률을 음수로 만드는 기호가 아닙니다.

마이너스는 진폭의 방향을 바꾸는 기호입니다.

진폭은 서로 더해질 수 있습니다.

같은 부호끼리 더해지면 커집니다.

$$+1 + +1 = +2$$

반대 부호끼리 더해지면 사라질 수 있습니다.

$$+1 + -1 = 0$$

이걸 간섭이라고 생각하면 됩니다.

양자에서 중요한 것은 확률 자체보다 그 이전 단계인 진폭입니다.

진폭들은 계산 중간에 서로 더해지고 빼집니다.

그 과정에서 어떤 결과는 강화되고, 어떤 결과는 상쇄됩니다.

그래서 마이너스 부호가 엄청 중요합니다.

10. Hadamard 게이트로 보는 차이

$|+\rangle$와 $|-\rangle$의 차이는 Hadamard 게이트를 보면 확실하게 보입니다.

Hadamard 게이트는 다음 행렬입니다.

$$H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&-1 \end{bmatrix}$$

이 게이트는 $|0\rangle$와 $|1\rangle$를 반반 중첩으로 바꿉니다.

$$H|0\rangle=|+\rangle$$

$$H|1\rangle=|-\rangle$$

그리고 반대로도 됩니다.

$$H|+\rangle=|0\rangle$$

$$H|-\rangle=|1\rangle$$

이게 아주 중요합니다.

$|+\rangle$와 $|-\rangle$는 $|0\rangle, |1\rangle$ 기준으로 측정하면 둘 다 반반입니다.

하지만 Hadamard를 통과시키면 결과가 완전히 갈립니다.

$$|+\rangle \xrightarrow{H} |0\rangle$$

$$|-\rangle \xrightarrow{H} |1\rangle$$

즉, 둘은 같은 확률분포처럼 보일 수 있지만 실제로는 다른 양자상태입니다.

10.1 $H|+\rangle=|0\rangle$ 계산

$$|+\rangle = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$$

$$H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&-1 \end{bmatrix}$$

계산하면

$$H|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$$

첫 번째 성분:

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 1$$

두 번째 성분:

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 0$$

따라서

$$H|+\rangle = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = |0\rangle$$

여기서 첫 번째 성분은 강화되고, 두 번째 성분은 상쇄됩니다.

10.2 $H|-\rangle=|1\rangle$ 계산

$$|-\rangle = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$$

$$H|-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$$

첫 번째 성분:

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 0$$

두 번째 성분:

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 1$$

따라서

$$H|-\rangle = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = |1\rangle$$

마이너스 때문에 어느 쪽은 상쇄되고 어느 쪽은 강화됩니다.

이것이 마이너스 부호의 의미입니다.

$$\boxed{ \text{마이너스는 음수 확률이 아니라 간섭의 방향이다.} }$$

11. 복소수는 왜 나오는가

지금까지는 진폭이 실수인 경우를 봤습니다.

하지만 양자상태의 진폭은 복소수일 수 있습니다.

예를 들어

$$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}}|1\rangle$$

같은 상태가 가능합니다.

여기서 $i$는 허수단위입니다.

$$i^2=-1$$

이때도 확률은 절댓값 제곱으로 계산합니다.

$$P(0) = \left|\frac{1}{\sqrt{2}}\right|^2 = \frac{1}{2}$$

$$P(1) = \left|\frac{i}{\sqrt{2}}\right|^2 = \frac{1}{2}$$

왜냐하면

$$|i|^2=1$$

이기 때문입니다.

복소수 $z=a+bi$의 절댓값 제곱은

$$|z|^2=a^2+b^2$$

입니다.

예를 들어

$$i=0+1i$$

이므로

$$|i|^2=0^2+1^2=1$$

입니다. 그래서

$$\left|\frac{i}{\sqrt{2}}\right|^2 = \frac{|i|^2}{2} = \frac{1}{2}$$

입니다.

12. 복소수 진폭도 확률보다 많은 정보를 가진다

다음 세 상태를 봅시다.

$$\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}}$$

$$\frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt{2}}$$

$$\frac{|0\rangle+i|1\rangle}{\sqrt{2}}$$

이 셋은 모두 $|0\rangle, |1\rangle$ 기준으로 측정하면 반반입니다.

$$P(0)=\frac{1}{2}$$

$$P(1)=\frac{1}{2}$$

하지만 셋은 서로 다른 상태입니다.

차이는 진폭의 상대적인 모양입니다.

첫 번째:

$$+ \quad +$$

두 번째:

$$+ \quad -$$

세 번째:

$$+ \quad i$$

확률로 바꾸면 이 차이가 잠깐 사라져 보입니다.

하지만 게이트가 작용하면 이 차이가 간섭 패턴을 바꿉니다.

즉, 양자상태는 단순히

0이 나올 확률

1이 나올 확률

만 담고 있는 것이 아닙니다.

그보다 더 많은 정보를 담고 있습니다.

• 확률 크기
• 부호
• 복소수 위상
• 간섭 방향

이 모든 것이 확률진폭 안에 들어 있습니다.

13. 위상이란 무엇인가

마이너스와 $i$는 둘 다 위상이라고 볼 수 있습니다.

복소수는 크기와 방향을 가집니다.

$$1$$

은 방향이 $0^\circ$인 값입니다.

$$-1$$

은 방향이 $180^\circ$ 돌아간 값입니다.

$$i$$

는 방향이 $90^\circ$ 돌아간 값입니다.

복소수 표현으로는

$$-1=e^{i\pi}$$

$$i=e^{i\pi/2}$$

입니다.

그러므로

$$\frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt{2}}$$

에서 마이너스는 $|1\rangle$ 성분이 $|0\rangle$ 성분에 비해 $180^\circ$ 돌아가 있다는 뜻입니다.

$$\frac{|0\rangle+i|1\rangle}{\sqrt{2}}$$

에서 $i$는 $|1\rangle$ 성분이 $|0\rangle$ 성분에 비해 $90^\circ$ 돌아가 있다는 뜻입니다.

이 상대적인 방향 차이를 상대위상이라고 합니다.

14. 전체 부호와 상대 부호는 다르다

여기서 중요한 구분이 있습니다.

14.1 전체에 붙은 마이너스

$$|+\rangle = \frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}}$$

와

$$-|+\rangle = -\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}} = \frac{-|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt{2}}$$

를 비교합시다.

두 번째는 전체가 통째로 마이너스가 붙었습니다.

이런 전체 부호는 측정 결과를 바꾸지 않습니다.

확률을 계산해도 같습니다.

이런 전체 위상을 전역위상이라고 합니다.

전역위상은 보통 물리적으로 같은 상태로 봅니다.

14.2 한쪽에만 붙은 마이너스

하지만

$$\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}}$$

와

$$\frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt{2}}$$

는 다릅니다.

왜냐하면 두 번째는 $|1\rangle$ 쪽에만 마이너스가 붙었기 때문입니다.

이건 전체 부호가 아니라 상대 부호입니다.

상대 부호는 간섭을 바꿉니다.

따라서 실제로 중요한 정보입니다.

$$\boxed{ \text{전체에 똑같이 붙은 부호는 중요하지 않고, 성분 사이의 상대 부호가 중요하다.} }$$

15. 확률진폭을 물결로 생각하기

진폭을 물결이라고 생각하면 직관이 좋아집니다.

같은 방향으로 흔들리는 물결은 커집니다.

$$+1 + +1 = +2$$

반대 방향으로 흔들리는 물결은 사라집니다.

$$+1 + -1 = 0$$

양자계산은 이 진폭의 간섭을 이용합니다.

좋은 양자 알고리즘은 대략 이런 목표를 가집니다.

• 정답 쪽 진폭은 강화한다.
• 오답 쪽 진폭은 상쇄한다.

그래서 확률만 보면 부족합니다.

확률이 되기 전의 진폭을 봐야 합니다.

진폭에는 부호와 복소수 위상이 있고, 이게 간섭을 결정합니다.

16. $|+\rangle$, $|-\rangle$를 한 번에 정리하기

$|+\rangle$

$$|+\rangle = \frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}}$$

• 벡터:

$$|+\rangle = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$$

• 의미: $|0\rangle$ 성분과 $|1\rangle$ 성분이 같은 크기, 같은 부호로 들어 있다.
• 확률:

$$P(0)=\frac{1}{2}$$

$$P(1)=\frac{1}{2}$$

• Hadamard 이후:

$$H|+\rangle=|0\rangle$$

$|-\rangle$

$$|-\rangle = \frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt{2}}$$

• 벡터:

$$|-\rangle = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$$

• 의미: $|0\rangle$ 성분과 $|1\rangle$ 성분이 같은 크기지만 부호가 반대다.
• 확률:

$$P(0)=\frac{1}{2}$$

$$P(1)=\frac{1}{2}$$

• Hadamard 이후:

$$H|-\rangle=|1\rangle$$

17. 숫자 예제로 감각 잡기

예제 1

$$|\psi\rangle = \frac{1}{2}|0\rangle + \frac{\sqrt{3}}{2}|1\rangle$$

여기서

$$\alpha=\frac{1}{2}$$

$$\beta=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

입니다. 확률은

$$P(0)=\left|\frac{1}{2}\right|^2=\frac{1}{4}$$

$$P(1)=\left|\frac{\sqrt{3}}{2}\right|^2=\frac{3}{4}$$

합은

$$\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$$

입니다.

예제 2

$$|\psi\rangle = \frac{1}{2}|0\rangle - \frac{\sqrt{3}}{2}|1\rangle$$

여기서

$$\alpha=\frac{1}{2}$$

$$\beta=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

입니다. 확률은

$$P(0)=\left|\frac{1}{2}\right|^2=\frac{1}{4}$$

$$P(1)=\left|-\frac{\sqrt{3}}{2}\right|^2=\frac{3}{4}$$

마이너스가 있어도 확률은 양수입니다.

하지만 이 마이너스는 없어지는 정보가 아닙니다.

측정 확률만 계산할 때는 사라져 보이지만, 나중에 게이트가 작용하면 간섭을 바꿉니다.

예제 3

$$|\psi\rangle = \frac{1}{2}|0\rangle + \frac{\sqrt{3} i}{2}|1\rangle$$

여기서

$$\alpha=\frac{1}{2}$$

$$\beta=\frac{\sqrt{3} i}{2}$$

입니다. 확률은

$$P(0)=\left|\frac{1}{2}\right|^2=\frac{1}{4}$$

$$P(1)=\left|\frac{\sqrt{3} i}{2}\right|^2=\frac{3}{4}$$

왜냐하면

$$|i|^2=1$$

이기 때문입니다.

18. 자주 헷갈리는 문장 정리

헷갈리는 말 1

$$\alpha,\beta \text{는 확률이다}$$

이 말은 틀렸습니다.

정확한 말은

$$\alpha,\beta \text{는 확률진폭이다}$$

입니다.

헷갈리는 말 2

$$-\frac{1}{\sqrt{2}}$$

가 있으니까 확률이 음수다.

이것도 틀렸습니다.

확률은

$$\left|-\frac{1}{\sqrt{2}}\right|^2 = \frac{1}{2}$$

입니다. 마이너스는 확률이 아니라 진폭의 부호입니다.

헷갈리는 말 3

$|+\rangle$와 $|-\rangle$는 둘 다 반반이니까 같은 상태다.

이것도 틀렸습니다.

둘은 $|0\rangle, |1\rangle$ 기준으로 측정하면 둘 다 반반입니다.

하지만 서로 다른 방향의 벡터입니다.

$$\langle +|-\rangle=0$$

그리고 Hadamard를 적용하면 다르게 나옵니다.

$$H|+\rangle=|0\rangle$$

$$H|-\rangle=|1\rangle$$

19. 머릿속 그림

양자상태를 이렇게 생각하면 됩니다.

확률표가 아니라 방향을 가진 화살표다.

• $|0\rangle$는 한 방향입니다.
• $|1\rangle$는 다른 방향입니다.
• $|+\rangle$는 그 사이의 위쪽 대각선 방향입니다.
• $|-\rangle$는 아래쪽 대각선 방향입니다.

$\alpha,\beta$는 그 화살표가 각 방향으로 얼마나 들어가 있는지를 나타냅니다.

확률은 그 성분의 크기를 제곱해서 얻습니다.

부호와 복소수는 그 화살표의 간섭 방향을 정합니다.

20. 핵심만 압축하면

• 양자상태:

$$|\psi\rangle = \alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$$

• 벡터 표현:

$$|\psi\rangle = \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix}$$

• 확률진폭: $\alpha,\beta$
• 측정 확률:

$$P(0)=|\alpha|^2$$

$$P(1)=|\beta|^2$$

• 정규화 조건:

$$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$$

• $|+\rangle$:

$$|+\rangle = \frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}}$$

$$P(0)=\frac{1}{2},\quad P(1)=\frac{1}{2}$$

• $|-\rangle$:

$$|-\rangle = \frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt{2}}$$

$$P(0)=\frac{1}{2},\quad P(1)=\frac{1}{2}$$

• 차이:

$$|+\rangle \neq |-\rangle$$

왜냐하면 상대 부호가 다르기 때문입니다.

$$H|+\rangle=|0\rangle$$

$$H|-\rangle=|1\rangle$$

가장 중요한 직관은 이것입니다.

$$\boxed{ \text{확률진폭은 확률보다 더 많은 정보를 가진다.} }$$

$$\boxed{ \text{제곱하면 확률이 되고, 부호와 복소수 위상은 간섭을 결정한다.} }$$

$$\boxed{ \text{양자계산은 진폭의 강화와 상쇄를 이용하는 계산이다.} }$$